A constructive proof of complete integrability of a wide class of two-dimensional nonlinear systems of partial differential equations is given. This class contains in particular self-dual equations for Yang— Mills fields for an arbitrary embedding of SU(2) in arbitrary simple Lie group. General solutions for the generalized two-dimensional Toda lattice, which correspond to the simple Lie algebras for the case of fixed endpoints and to infinite-dimensional contragre-dient algebras for the relevant periodic boundary conditions (multi-component generalizations of sine-Gordon equation), are constructed in explicit form. Moreover some others two-dimensional nonlinear systems are integrated, in particular, Volterra equations (difference KdV) and supersymmetric generalization of the Liouville equation. The developed method of integration of nonlinear equations is based on the explicit realization of the Lax — type representation and representation theory of corresponding groups.

Дается конструктивное доказательство полной интегрируемости широкого класса двумерных нелинейных систем, содержащего, в частности, уравнения дуальности для полей Янга—Миллса при произвольном вложении подгруппы SU(2) в произвольную простую группу Ли. В явном виде построены общие решения для обобщенной двумерной цепочки Тода, отвечающей в случае закрепленных концов простым алгебрам Ли и бесконечномерным контрагредиентным алгебрам для соответствующей периодической задачи (многокомпонентные обобщения уравнения синус-Гордона). Кроме того, проинтегрирован ряд других двумерных нелинейных систем, в том числе уравнения Вольтерра (разностные КдФ) и суперсимметричное обобщение уравнения Лиувилля. В основе развитого метода интегрирования нелинейных уравнений лежит явная реализация для рассматриваемых систем представления типа Лакса операторами, принимающими значения в соответствующей алгебре, и теория представлений групп.