Обзор посвящен обсуждению параллелей между четырехмерными калибровочными теориями и двумерными сигма-моделями. Сигмa-модели используются как лаборатория, позволяющая исследовать такие проблемы, как операторное разложение вне рамок теории возмущений, вакуумные конденсаты, низкоэнергетические теоремы, т. е. непертурбативные эффекты. Все эти вопросы интенсивно обсуждаются в текущей литературе, и мы даем критический анализ ситуации. Вторая часть обзора представляет собой подробное обсуждение суперсимметричной O (3) сигма-модели. Дается описание метода вычисления функции Гелл-Мана - Лоу и фермионных конденсатов, основанного на инстантонном исчислении. Ранее аналогичный метод был использован нами в четырехмерных теориях Янга - Миллса. В обзоре мы пытаемся пояснить все аспекты метода на упрощенном примере. Основные пункты: 1) инстантонная мера из чисто классического анализа; 2) теоремы о неперенормируемости при самодуальном внешнем поле; 3) существование вакуумных конденсатов, совместимых с суперсимметрией.

This review is devoted to the discussions of the parallels existing between four-dimensional gauge theories and two-dimensional sigma-models. Sigma-models are used as a laboratory allowing us to investigate such issues as the operator product expansion beyond perturbation theory, vacuum condensates, low-energy theorems i.e. non-perturbative effects. All these questions are intensively discussed in the current literature, and we give a critical analysis of the situation. The second part of the review represents a discussion of the supersymmetric O (3) s-model. The instanton-based method for calculating the exact Gell-Mann - Low function and bifermionic condensate is considered in detail. Previously an analogue of this method has been used by us in four-dimensional Yang-Mills theories. Here we try to elucidate all aspects of the method in simplifying conditions. The basic points are: 1) the instanton measure from purely classical analysis; 2) a non-renormalization theorem in self-dual external fields; 3) existence of vacuum condensates and their compatibility with supersymmetry.