Обзор посвящен систематическому изложению нового подхода к исследованию квантового метода производящих функционалов Боголюбова в статистической физике на основе анализа представлений алгебры Ли токов в нерелятивистской квантовой механике и соответствующих им функциональных уравнений. Показана эффективность развиваемого авторами квантового метода производящих функционалов Боголюбова для важной проблемы вычисления корреляционных функций систем многих частиц. Получены явные функционально-операторные выражения для производящего функционала функций распределения в классической статистической механике как в равновесном, так и в неравновесном случаях. На основе анализа представления Вигнера для производящего функционала Боголюбова доказана впервые гамильтоновость неравновесного функционального уравнения в большом каноническом ансамбле Гиббса классической статистической механики систем многих частиц относительно специальной симплектической структуры Ли - Пуассона - Власова на орбитах коприсоединенного представления квазиклассической алгебры Ли наблюдаемых операторов. Рассмотрены примеры взаимодействующих одномерных бозе- и ферми-газа частиц на оси, для которых вычисления можно провести в замкнутой форме.

The review of new approach to investigate the quantum generating functional method of Bogoliubov in statistical physics is presented, the analysis of which being fulfilled by means of Lie algebra of currents and its representations in the nonrelativistic quantum mechanics. The efficiency of developing by authors method is demonstrated for important problem of calculation of correlation functions for many particle systems. The explicit formulas in functional-operator form for generating functional in classical statistical mechanics are received for stationar and nonstationar cases. Using the Wiegner representation for Bogoliubov generating functional firstly the Hamiltonian form of nonstationar functional equation is proved for Gibbs great canonical ansamble of classical systems. The special Lie-Poisson-Vlasov symplectic structure on coadjoint orbits of quasiclassical Lie algebra observables is constructed in explicit form. The examples of interacting one-dimensional bose- and fermi-systems of particles on axis are presented, the closed results for them are calculated using the devoloped formalism.