Настоящий обзор содержит детальное описание методов вычисления ультрафиолетовых расходимостеи в двумерных нелинейных теориях. Приводятся сведения о геометрии рима-новых многообразий, вводится понятие обобщенной перенормируемости сигма-моделей. Излагается ковариантный метод фонового поля в нелинейных теориях. Обсуждается проблема инфракрасных расходимостеи и способы их устранения. Иллюстрацией служат двух-петлевые расчеты в бозонной сигма-модели с членом Весса - Зумино, а также четырех- и пятипетлевые расчеты в N = 1 и N = 2 суперсимметричных сигма-моделях. В заключение обсуждается роль риччи-плоских многообразий в получении конформно-инвариантных сигма-моделей.

The present review contains a detailed description of the methods used to calculate the ultraviolet divergences in two-dimensional non-linear theories. The basic notions of geometry of Rie-mannian manifolds are given and the concept of generalized renormalizability of sigma-models is introduced. A covariant background formalism in non-linear theories is presented. The problem of infra-red divergences is discussed and the ways to avoid them are shown. The methods are illustrated by the two-loop calculations in bosonic sigma-models with the Wess-Zumino term and by the four and five-loop calculations in N = 1 and N = 2 supersymmetric sigma-models. In conclusion the role of Ricci-flat manifolds in obtaining conformal invariant sigma-models is discussed.