We present here the basics of modern group analysis of differential equations in the form suitable for beginners. This is a mathematical theory of symmetries and conservation laws and, being based on it, a technology for production of exact solutions for such mathematical models, which use (nonlinear) partial or ordinary differential equations. The group analysis produces in a natural way the variables, which are most suitable for a problem in question, and also the associated differential-geometric structures, such as (pseudo)Riemann geometry, connections, Hamiltonian and Lagrangian formalism. The domain of possible applications includes continuous media mechanics (gas- and hydrodynamics, nonlinear elasticity and plasticity theory of solids), nonlinear acoustics, magnetic hydrodynamics, gravitation and other nonlinear field theories (gauge and chiral fields, string theories etc.), chemistry (chromatography and electrophoresis), biology. We consider also as promising ones the applications to such linear theories as quantum mechanics: construction of new exact solutions, theory of separation of variables etc.

В доступной для начинающих форме излагаются основы современного группового анализа дифференциальных уравнений. Это математическая теория симметрии и законов сохранения и технология получения на этой основе точных решений математических моделей, базирующихся на (нелинейных) дифференциальных уравнениях (как обыкновенных, так и в частных производных). При групповом анализе естественным образом возникают наиболее удобные для данной задачи переменные и связанные с ней дифференциально-геометрические структуры, такие как (псевдо)риманова геометрия, связности, гамильтонов и лагранжев формализмы. Область возможных приложений включает в себя механику сплошных сред (газо- и гидродинамику, нелинейную теорию упругости и пластичности твердых тел), нелинейную акустику, магнитную гидродинамику, теорию гравитации и другие нелинейные полевые теории (калибровочные и киральные поля, струнные теории и т.п.), химию (хроматографию и электрофорез), биологию. Перспективными являются и приложения к таким линейным теориям, как квантовая механика: построение новых точных решений, теория разделения переменных и др.